matematika

• mobiova smycka
• kvantova teleportace v elektronickem cipu
• ...

Euler nebyl jedinym matematikem 18. stoleti, ktery se zabyval topologickymi jevy. Jak Cauchy, tak Gauss si uvedomili, ze vlastnosti utvaru naji mnohem obecnejsi chaprakter nez ciste geometricky. Avsak teprve Gaussuv zak Augustus Mobius polozil zaklady matematicke discipliny - topologie. Mimo jine podal presnou definici pojmu topologicka transformace. Podle Mobiovy definice je topologie studiem vlastnosti utvaru, ktere se pri topologickych transformaci nemeni.

Topologicka transformace je transformaci jednoho utvaru tak, ze libovolne dva sobe blizke body puvodniho utvaru zustanou sobe blizke i v transformovanem tvaru (pri zkoumani transformovaneho tvaru, neni povolena operace pretrzeni/prestrizeni/rezani).

Vetsina z prvnich topologickych praci se zamerila na dvojrozmerny povrch. Jednoho z prvnich fascinujicich objevu dosahli Mobius s Listingem. Zjistili totiz, ze nelze tvorit jednostranne povrchy. Vezmem-li papirovou pasku - rekneme 2cm sirokou a 20 cm dlouhou - a otocime-li ji na jednom konci o 180st. a pak slepime oba konce dohromady, dostaneme tzv. Mobiovu pasku - tj. povrch, ktery ma pouze jednu stranu. Jestlize se pokusime obarvit jednu stranu Mobiovy pasky, nakonec zjistime, ze jsme obarvili "lis i rub" daneho utvaru.

Timto zpusobem matematici predstavuji Mobiovu pasku detem nebo pocinajicim studentum topologie. Je to mnohem slozitejsi.

Matematicke povrchy predevsim nemaji "strany". Pojem strana je neco, co vyplyva z pozorovani povrchu z okolniho trojrozmerneho prostoru. Pro dvojrozmerny subjekt, ktery je odkazany zit "v" povrchu, nema pojem strana vubec smysl. Prave tak jako pro cloveka nema smysl mluvit o stranach trojrozmerneho sveta. Avsak z pohledu ctyrrozmerneho prostoru nas vnimany svet strany ma - totiz cas (minulost a budoucnost - Minulost a budoucnost urcuji polohu sveta v case).

Z matematickeho hlediska neni presne, tvrdime-li, ze Mobiova paska ma jen "jednu stranu".
Proc se Mobiova paska tak diametralne lisi od pravidelne valcovite pasky?
Odpoved zni: obycejna paska je orientovana, zatimco Mobiova paska nikoli.
Matematicky pojem "orientovanost" je skutecna vlastnost, kterou matematicke povrchy mohou, ale take nemusi mit. Nase intuice nam rika, ze orientovanost rozlisuje pojmy vzhledem ke smeru ci proti smeru otaceni hodinovych rucicek neboli ve vztahu k levotocivosti nebo pravotocivosti.

POKUS:
Abychom si zakladni pojem trochu osvetlili, predstavme si dve pasky: jednoduchou pasku valcoviteho tvaru a Mobiovu pasku.
Obe jsou z pruhledneho materialu. Na kazdou pasku nakreslime maly krouzek se sipkou ve smeru hodinovych rucicek. Skutecnost, zda bude nakreslena sipka ve smeru, nebo proti hodinovych rucicek, nezalezi na uhlu pohldu z trojrozmerneho prostoru.

Zacneme s Mobiovou paskou. Predstavme si, ze se krouzek v pasce, az na konec vrati do sve puvodni pozice. Jeho pohyb simulujeme tim, ze zacneme u puvodniho krouzku, ktery budeme za staleho posouvani prekreslovat, vcetne sipky udavajici smer. Az se dostaneme na druhy konec pasky, zjistime, ze se prave pokousime nakreslit krouzek na opacnou stranu pasky, nez se naleza prvni krouzek. Posledni krouzek nakreslime na puvodni (pruhledna paska), ale smer sipky ktery prebirame, bude ukazovat proti smeru prvniho krouzku.
Protoze vsak krouzek zustal "v" povrchu po cely cas posouvani, nemaji pro Mobiovu pasku pojmy orientace smysl.
Obrazce zobrazene na valcovite pasce svou orientaci sveho pohybu nezmeni.

Pokus lze opakovat i s jinymy obrazci...napr: lidska ruka.

POKUS 2:
Vezmeme si nuzky a zacnem strihat pasku po jejim obvodu. Podelnym roztrizenim Mobiovy pasky vznikne jediny kus pasky, ktera je pretocana o 360st., ma dvojnasobnou delku jako vychozi.

Orientovanost neni jedinou topologickou vlastnosti, s jejiz pomoci lze rozlisovat povrchy. Dalsi takovou vlastnosti je povrh stran. Mobiova paska ma jednu hranu. Z hlediska hran je Mobiova paska totozna s dvojrozmernym diskem, ktery ma jednu hranu. V tomto pripade je orientovanost topologickou vlastnosti, ktera rozlisuje tyto dva povrchy: disk je orientovany, Mobiova paska neni.
Jakym topologickym utvarem je disk s otvorem umistenym zhruba ve svem stredu?
Tento povrh je orientovany a ma stejne jako valcovita paska dve hrany. Ve skutecnosti jsou oba povrchy topologicky ekvivalentni. (Snadno si predstavime, jak (matematickym) natahovanim a zplostovanim pretvorime valcovitou pasku na disk s otvorem ve stredu.